األستاذ: بنموسى محمد ثانوية: عمر بن عبد العزيز المستوى: 1 علوم رياضية

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية إحداثيات نقطة بالنسبة لمعلم - إحداثيات متجهة بالنسبة ألساس: األساس المعلم في الفضاء: D2O, j ; D1O,i O k j i نشاط : I 11 1 أنشئ في الفضاء ثالث متجهات غير مستائية انطالق من نقطة معلمة ثم أنشئ المستقيمات OM xi yj k Σ i; j;k D3 المثلث المربع يسمى أساس في الفضاء يسمى معلم في الفضاء منسب إلى المعلم نقل إن الفضاء Σ أ أيضا : الفضاء إحداثيات نقطة بالنسبة لمعلم - إحداثيات متجهة بالنسبة ألساس: مزد بالمعلم ) j حيث : i O منسب إلى معلم O,i, j D3 O,k Σ O,k مفردات : نشاط : 2 12 1 نعتبر الفضاء لنعتبر المستقيم المستى نريد أن نبين عن ما يلي : لكل نقطة M ( المار من من الفضاء يجد مثلث حيد المجه ب من 3 x,y, OM' k O,i, j ) OM xi yj k x'i y' j 'k D3 Σ M' نقطة من M 3 لتكن M لنعتبر النقطتين التي تحقق ما يلي : O,k ( أنظر الشكل ) M 3 المسقط ل M على المستقيم ل M على بتازي مع بتازي مع المستى D3 O,k OM 3 ثم أعط تعبير متجهي لذلك j i O,i, j المسقط M' ماذا يمكن أن نقل عن استقامية k ماذا يمكن أن نقل عن استائية المتجهات OM' ثم استنتج كتابة ل استنج كتابة ل OM بداللة i j OM نضع من خالل العالقة : M'M OM OM' نبين أن هذه الكتابة حيدة : ( نفترض هناك كتبتين ل نبين أن : x' x ' أعط الخاصية : y' y 1 2 3 4 5

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : مفردات: العدد األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية يسمى أفصل النقطة M بالنسبة للمعلم OM xi yj k 3 من x,y, x العدد y العدد يسمى أرتب النقطة M يسمى أنسب النقطة M بالنسبة للمعلم بالنسبة المعلم Σ تعريف خاصية : لكل نقطة M من الفضاء المثلث منسب إلى معلم يسمى إحداثيات النقطة M يجد مثلث حيد حيث: x M y أ أيضا : x u y أ أيضا u x,y, M x,y, i; j;k بالنسبة للمعلم نكتب كذلك إحداثيات المتجهة u OM x,y, x,y, المثلث يمثل بالنسبة لإلساس نكتب كتابة : M x, y, OM xi yj k OM x, y, OM xi yj k A أنشئ OA i 2j يعني أن 3k 2 3 4 5 مثال: A 1,2,3 - إحداثيات منتصف قطعة AB u u إحداثيات v خاصية : 13 1 Σ vx',y',', ux,y, نعتبر الفضاء Σ منسب إلى معلم نقطتين من الفضاء من منتصف لدينا: متجهتان من الفضاء AB I I I I a,b,c Σ u x, y, Ba',b',c', Aa,b,c u vx x',y y', ' AB a' a,b' b,c' c a' a b' b c' c I,, 2 2 2 نبين أن : )1 )2 )3 جاب : )1

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية ( الجمع في مجمعة المتجهات تبادلي ) ( حسب مضعات الفضاء ( درس متجهات الفضاء ) ) u vx x',y y', ' نكتب : x x',y y', ' u v xi yj k x'i y' j 'k xi x'i yj y' j k 'k x x' i y y' j ' k ه المثلث u v خالصة : إحداثيات المتجهة u x, y, xi yj k u xi yj k نبين أن : ( حسب مضعات الفضاء ( درس متجهات الفضاء ) ) ( حسب مضعات الفضاء ( درس متجهات الفضاء ) ) u x, y, نكتب : x, y, x i y j k خالصة : إحداثيات المتجهة u ه المثلث B B B B x,y, AB إحداثيات A A A A x,y, B B B A A A B A B A B A ABx x,y y, AB AO OB OB OA x i y j k x i y j k x x i y y j k منتصف القطعة AB 2 1 2 1 3 u 3 w 2 u w 3 2 u w 1 5 7 5 7 2 B A B A B A B 2,4,5 A 1,2,3 AB2 1,4 2,5 3 AB3, 2, 2 لنعتبر المتازي المستطيالت )2 نضع : خالصة : 1 إحداثيات 2 1 4 2 5 3 1 I,, I,3,4 2 2 2 2 1 w 2 7 2 u 3 5 4 v 6 1 4 2 v 6 2 3 2u 1 5 2 2 الفضاء منسب إلى معلم القائم ABCDEFGH التالي ( أنظر الشكل ) حدد إحداثيات رؤس المتازي المستطيالت القائم ABCDEFGH لدينا: D,, C (, 2,) 2,) (2, B H (,, 3) G (,2,3) A 2,, (2,2,3) F II محددة ثالث متجهات: 11 شرط استقامية متجهتين:

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : خاصية 1 : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية 1 منسب إلى معلم v u u Σ v vx',y',', ux,y, متجهتان من الفضاء مستقيميتان يكافئ يجد v u حيث: من أ 2 تعريف خاصية: v u المحددات التالية : منسب إلى معلم تسمى المحددات المستخرجة ل Σ متجهتان من الفضاء vx',y',', ux,y, x x' x x' y y' =xy'-yx', y = =x'-x', x =y'-y' y y' ' ' x x y مستقيميتان يكافئ v u 1 2 2 v مستقيميتان إذن 2 u هل المتجهتان x = 2 1 3 3 1 12 محددة ثالث متجهات: 1 تعريف : منه u v غير مستقيميتين 3 إلى معلم منسب Σ w x",y"," ثالث متجهات من الفضاء x x' x" y' y" x' x" x' x" det u, v, w y y' y" x y ' " ' " y' y" ' " vx',y',', ux,y, xy'" x'y" yx'" y'x" x'y" y'x" في هذا الترتيب العدد : يسمى محددة المتجهات u v w 1 2 1 w 1,,3 v 2,,1, u1,2,3 مع det u, v,w مثال: 2 احسب 2 1 2 1 det u, v, w 2 1 2 3 1 2 7 3 14 1 3 1 3 3 1 3 det u, v,w 14 متجهات مستائية: خالصة : خاصية: 13 1 منسب إلى معلم Σ w x",y"," ثالث متجهات من الفضاء det u, v,w vx',y',', ux,y, ( u v w مستائية )

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : Σ األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية نأخذ المثال السابق أدرس استائية u v w بما أن : 14 det u, v,w إذن det u, v,w بالتالي u v w غير مستائية A x,y, 2 خالصة : u v w غير مستائية III تمثيل بارامتري لمستقيم: تمثيل بارامتري لمستقيم: منسب إلى معلم ua,b,c DA,u خالل من Σ Σ 11 1 نشاط : نعتبر الفضاء نقطة من متجهة غير منعدمة من Σ نقطة من y,x,c,b,a بداللة y x تكافئ يكتب أجد M x,y, Σ ) M x,y, x x at Mx,y, DA,u AM tu,t t / y y bt ct DA,u M x,y, جاب : ( المتجهتان AM u مستقيميتان ) t, AM tu x x at t / y y bt ct 2 مفردات : الكتابة المحصل عليها تسمى تمثيل بارا متري للمستقيم D A,u x x at y y تسمى تمثيل بارامتري للمستقيم bt, t ct x a D من الفضاء A y,u b c A D A,u يافق ( أ يمثل ) النقطة x 2t : y 5 t, t 4 3t k 3 تعريف : النظمة : ملحظة : لكل قيمة للسيط t يافق نقطة حيدة العكس صحيح ( مثال تمثيل بارامتري لمستقيم ليس بحيد ( هناك ماالنهاية ) D A,5, 4,u 2,1, 3 ه : D تنتمي إلى B 2,4, 1 الفضاء منسب إلى معلم تمثيل بارامتري للمستقيم ندرس هل النقطة 4 5

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية 2 t 1 2 2t 2 B2, 4, 1 D t 4 5 t t t 4 5 1 t 1 1 4 3t 3t 4 1 3 ) إذن أناسيب نقطه منعدمة لهذا يجيب y 5 3t 5 34 7 j i O,i, j خالصة : D B 2,4, 1 نحدد إحداثيات النقطة C تقاطع المستقيم D المستى OM i j O,i, j المستى يمثل النقط M حيث ( أي بداللة C 8, 7, x 2t 24 8 BG O,i, j بالتالي : t 4 4 t منه : خالصة : المستقيم D يقطع المستى األضاع النسبية لمستقيمين: في النقطة IJ EH AB 12 نشاط: الفضاء منسب إلى معلم من خالل المستقيمات أعط الخاصية لكل حالة )أي الشر ط لذلك( استنتج األضاع النسبية الممكنة لمستقيمين في الفضاء 1 2 1 IJ / / EH نكتب : EH IJ EH EH IJ مفردات : المستقيم منطبق مع المستقيم متزيان قطعا إذن: كذلك نقل إن يازي IJ نكتب : EH AB / / إذن : AB EH AB BG B B نكتب : EH يقطع AB في النقطة AB BG 3

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية غير مستائيين HE BG خاصية : 2 x 1 D' : t / y 5 2t 1 4t A x,y, Σ مستقيمان من الفضاء D' B, v u v مستقيميتان لهما نقطة مشتركة D A,u D' D D' متازيان قطعا u v مستقيميتان ليس لهما نقطة مشتركة ID' D غير مستقيميتين v u D D' D I D' غير مستائيين u v غير مستقيميتين ليس لهما نقطة مشتركة غير مستائيين u v AB غير مستائية det u, v, AB D' B, v D' B, v D A,u D ملحظة : D A,u أ أيضا غير مستائيين D A,5, 4,u,1,2 3 4 هل ' D متازيين حيث تمثيل بارا متري ل 'D ه كالتالي IV تمثيل بارا متري لمستى - معادلة ديكارتية لمستى: تمثيل بارا متري لمستى: v a',b',c' متجهتان غير مستقيمتين من الفضاء منسب إلى معلم نقطة معلمة من, a', c, b, a M x,y, 11 نشاط : u a,b,c Σ نعتبر المستى 1 الفضاء ما ه الشرط الضرري الكافي الذي تحققه النقطة أتمم العبارة التالية : لكي تنتمي إلى المستى بداللة ه : y x M x,y, مستعمال تكافؤات متتالية من أجل كتابة M x,y, )1 )2, y, x, c', b' جاب : الشرط الضرري الكافي الذي تحققه النقطة لكي تنتمي إلى المستى M x,y, مستعمال التكافؤات المتتالية :,u v M x,y, A, المتجهات u v AM مستائية A,u, v ) مستائية AM v u (, ; AM u v نتمم العبارة التالية : x x a a', ; y y b b' c c' )1 )2

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : تعريف: األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية 2 من الفضاء Σ ) A x a a' A y,u b, v b' c c' x x a a', / y y تسمى تمثيل بارا متري للمستى b b' c c' يافق نقطة حيدة العكس صحيح ( مثال النظمة : 3 ملحظة : لكل قيمة للسيط ثم للسيط تمثيل بارامتري لمستى ليس بحيد ( هناك ما النهاية ) منسب إلى معلم يافق ( أ يمثل ) النقطة : x 1 3 2 y 2 5 4 ;, 7 9 1 3 2 ه : A 2,u 5, v 4 7 9 الفضاء Σ تمثيل بارامتري للمستى ندرس هل النقطة B 5,12, 2 تنتمي إلى B5,12, 2 D, 5 1 3 2 5 1 3 2 / 12 2 5 4, / 12 2 5 4 2 7 9 9 9, 5 1 3 2 2 / 12 2 5 4, / 2 1 1 B 5,12, 2 D خالصة : معادلة ديكارتية لمستى: x a' a" Mx,y, لكي تنتمي إلى المستى A y,u b', v b" c' c",u v M x,y, A, d xx yy ) مستائية AM v u ( det AM,u, v x x a' a" y y b' b" c' c" b' b" a' a" a' a" x x y y c' c" c' c" b' b" x y x y x y x y ax b c d y b'a" c a'b" 12 نشاط : هل هناك طريقة أخرى لشرط الذي تحققه النقطة جاب : نعم هناك طريقة أخرى : 4 1 مع : c'b" a b'c" c'a" b a'c" y x

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية مفردات : المعادلة المحصل عليها : ax b c d تسمى معادلة ديكارتية للمستى y تعريف خاصية : 2 3 A x,y, متجهتان غير مستقيمتين من الفضاء Σ منسب إلى معلم نقطة y x مع v a',b',c' Σ نعتبر المستى x x y y x y u a,b,c معلمة من الفضاء تسمى معادلة ديكارتية للمستى هي a,b,c,, مع a b c d من v : ax by c d u المعادلة : المحددات المستخرجة ل هذه المعادلة تكتب باختصار: a' a" b' b" y a' a" c' c" x b' b" c' c" ملحظة : المحددات المستخرجة األعداد على األقل احدة منها غير منعدمة في المعادلة الديكارتية : على األقل احدة منها غير منعدمة : ax by c d Q c b األضاع النسبية لمستيين: 1 a 13 نشاط : الفضاء منسب إلى معلم من خالل المستيات استنتج األضاع النسبية الممكنة لمستيين في الفضاء أعط الخاصية لكل حالة 1 4 1

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية منطبقان إذن : كذلك نقل إن : متازيان نكتب : ' k d' kd d' kd c' kc ABC ' : مستيان من الفضاء Σ c' kc ABC 1 KL نكتب : 1 Q ABC مفردات : يقطع متزيان قطعا إذن: تبعا للمستقيم نكتب ' KL b' kb ' : a'x+b'y+c'+d'= b' kb a' ka a' ka ' خاصية : ax+by+c+d= : ' منطبقان ' ' متازيان قطعا متقاطعان غير مستقيميتين v a',b',c' u a,b,c ' D a',b',c',, a,b,c,, ' ملحظة : مع العلم أن : v' B,u', متقاطعان يكافئ المتجهات u v u' مستائية كذلك u v v' مستائية متقاطعان يكافئ det u, v,u' det u, v, v', y, c, b Σ, y, x, c, b, a t B,u', v' أ أيضا : معادلتان ديكارتيتان لمستقيم: 11 معادلتان ديكارتيتان لمستقيم: نشاط : من خالل التمثيل بارا متري لمستقيم نأخذ a b c غير منعدمة أجد قيمة t بداللة c b نأخذ a أحدهما على األقل منعدم مثال a أجد قيمة بداللة A x,y, مفردات : المعادلتين تسمى معادلتين ديكارتيتين للمستقيم D A,u u a,b,c Σ تعريف خاصية : D A,u مستقيم من الفضاء مع نقطة من D A,u DA,u M x,y, Mx,y, D A,u x x 4 2 3 4 V 1 2 3 مع x x at t / y y تمثيل بارامتري ل bt ct cغير منعدمة : c b b x x y y a b c y y : b c D A,u أحدهما على األقل منعدم مثال a الكتابة السابقة تسمى معادلتين ديكارتيتين للمستقيم a a

http://benmoussamathjimdocom/ 55:31 5342-3-41 يم السبت : األستاذ: بنمسى محمد ثانية: عمر بن عبد العزيز المستى: 1 علم رياضية األضاع النسبية لمستقيم مستى: هي األضاع النسبية للمستقيم D A,u 12 نشاط : ما أعط الخاصية لكل حالة المستى من الفضاء 1 2 1 D2 D2 D2 منه : D1 : منه D 1 / / D K K منه : ضمن خارج نكتب نكتب مفردات : D 2 يخترق في النقطة D 1 D خاصية : 2 2 ) ) B B Σ مستقيم من الفضاء Σ ضمن مستى من الفضاء مستائية B ( أ أيضا det u, v,w B w v u يكافئ المتجهات w v u يكافئ المتجهات خارج مستائية ( أ أيضا det u, v,w ) det u, v,w غير مستائية ( أ أيضا w v u يكافئ المتجهات يخترق D B,u' D D D